理解SSB调制相位方法的可视化方法

本文使用频谱的3D模型来揭开复杂的数学概念的神秘面纱，如希尔伯特变换和移位特性，这些概念使定相方法成为可能。

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本系列的前几篇文章介绍了生成单边带信号的滤波和定相方法。在本文中，我们将通过探索相位法如何改变输入信号频谱的实部和虚部，更深入地研究相位法。与我们之前主要从数学角度研究相位方法的讨论不同，我们将使用图形表示来增强我们的理解。

真实信号的频谱

考虑将实值消息信号作为SSB波传输。实值函数的傅里叶变换表现出共轭对称性，这意味着谱的实部是偶数函数，虚部是奇数函数。这在图1的两半中进行了说明。

实值基带信号频谱的实部和虚部。

图2显示了上述光谱的三维表示。3D图允许我们表示定相调制器内不同节点处的频谱。

信号频谱的3D图。

让我们从使用这个模型来可视化Hilbert变换开始。

Hilbert变换的说明

Hilbert变换是相位法的核心。正如我们在上一篇文章中所了解到的，它对应于具有以下频率响应的线性滤波器：

它将所有正频率分量偏移-90度，将所有负频率分量偏移+90度。Hilbert变换不影响谱振幅。

由于希尔伯特变换将频率分量乘以虚数单位j，因此它将实数分量转换为虚数分量，反之亦然。图3说明了图2中所示的频谱在经过Hilbert变换时是如何改变的。

输入信号的频谱、希尔伯特变换引起的旋转以及希尔伯特频谱的输出信号。

图3 输入信号的频谱（a）、由Hilbert变换引起的一个象限的空间旋转（b）和Hilbert变换的输出频谱（c）。图片由Steve Arar提供

我们在上面看到，希尔伯特变换将空间的正频率和负频率部分沿相反方向旋转90度。为了确保我们不会混淆这两个空间部分的旋转方向，让我们来看几个例子。

考虑点M（f1）=1+j，其中f1是正频率。输入频谱的实部和虚部都是正的。由于f1是一个正频率分量，Hilbert变换将该值乘以-j，得到以下结果：

由此可知，该频率点的输出应具有正实部和负虚部。这与图3（b）一致。

接下来，让我们考虑一个具有正实值和负虚值的负频率分量（f2）：M（f2）=1-j。这一点对应于图3（a）的负频率部分。Hilbert变换将产生：

在这里，输出的实部和虚部都是正的。这再次与上图一致。

移相特性与相位调制器

现在我们知道希尔伯特变换是如何改变输入频谱的，让我们更好地理解相位调制器的操作。为此，我们需要复习傅里叶变换的一个重要性质。它被称为移位属性，它指出将时域信号乘以复指数可以得到以下结果：

其中：

x（t）是时域信号

X（f）是X（t）的傅里叶变换

ω0是一个恒定的频率。

换句话说，频谱偏移了一个恒定的频率（ω0）。

考虑到上述情况，让我们检查图4中的相位调制器框图。

相位调制器电路。

定相方法的功能框图。图片由Steve Arar提供

VA和VB分别表示上、下路径输出端的信号。我们还将把图上的这两点称为节点A和节点B。

首先，考虑上部信号路径。使用欧拉公式，余弦本振子波cos（ωct）可以表示为：

基于移位特性，图4中的上乘法器将消息频谱转换为±ωc，并将幅度缩放0.5倍。图5（a）中可以看到结果的频谱（没有幅度缩放）。

同时，输入到下路径本地振荡器的正弦波可以表示为：

下路径将消息信号的希尔伯特变换与上述复指数项混合，得到VB。为了帮助我们直观地理解这一点，让我们在继续之前检查图5（b）中的VB频谱。您可能希望在新选项卡中打开此图像。

上乘法器、下乘法器和输出加法器的频谱。

图5由上乘法器（a）产生的频谱、由下乘法器（b）产生的光谱和由输出加法器（c）产生的组合频谱。图片由Steve Arar提供

方程6中的第一项将Hilbert变换的输出谱（图3（c）中的Mh（f））移动到ωc的中心，缩放因子为1/2j。除以虚单位j对应-90度的相移，产生图5（b）中输出谱的正频率部分。

除以j也会改变实部和虚部的作用。Mh（f）的实部在节点B处转换为虚部，虚部转换为实部。

方程6中的第二个指数项将Hilbert变换的输出谱移动到-ωc，并将其缩放为-1/2j=j/2。仅考虑缩放因子j，我们观察到输出光谱偏移了+90度。在我们的3D表示中，这对应于一个象限沿顺时针方向的空间旋转。再次注意，空间旋转一个象限会将实部变为虚部，反之亦然。

调制输出频谱

调制器电路通过将节点A和B的频谱相加来产生输出。在这种情况下，这意味着下边带信号。如果我们用减法器替换电路输出端的加法器，它将产生上边带。

下侧带具有相同的振幅和极性。将它们加在一起会得到一个比例因子为2的输出，如图5（c）所示。对于上边带，实部和虚部的振幅相同，但极性相反。这一增加抵消了它们。

理解分段法的其他方法

在这篇文章中，我们研究了消息信号的实部和虚部，以及相位调制器电路对它们的修改。然而，对定相方法的一些解释只考虑了信号频谱的实部。

例如，考虑图6。摘自Thomas H.Lee的《CMOS射频集成电路的设计》，这是一本关于射频设计的好书，它展示了真实部分在通过电路时是如何变化的。

仅考虑信号实部的定相方法示意图。

虽然这种方法简化了电路操作的解释，但对定相方法的彻底分析应该包括频谱的实部和虚部。现在你已经探索了这个SSB电路的详细解释，作为练习，尝试验证李博士图表中所示的不同光谱。